Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due , представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Концепция стоимости денег во времени предполагает широкое использование аннуитетов в финансовых расчетах. Ее суть заключается в том, что стоимость 1 у.е. сегодня выше, чем стоимость 1 у.е. завтра. Например, банки и другие финансовые институты предлагают выплачивать проценты по депозитам, стимулируя инвесторов вкладывать свои свободные средства. В этой ситуации возникает понятие упущенной выгоды, когда инвестор мог бы получить доход, вложив свои средства, но не сделал это. На этом и базируется концепция стоимости денег во времени, которая использует такие понятия как будущая стоимость, настоящая стоимость, процентная ставка, ставка дисконтирования или требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ), инвестиционный горизонт.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A ).

Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n i c .

Общая наращенная сумма определяется по формуле:

где k i , n – коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен:

Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета.

Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств.

Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу

Коэффициент наращения определим по формуле
Аналогичный результат получим по таблице.

Итоговая наращенная сумма будет равна S = P ∙
150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.

Таблица 3. Коэффициенты наращения а ннуитета

Аннуитет пренумерандо

Аннуитет пренумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма S k увеличивается в (1 + i c ) раз. Следовательно, для всей суммы S n имеем S n = S (1 + i c ).

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо
получаем следующее соотношение:

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i c проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета постнумерандо. Поэтому каждая современная величина А к будет больше в (1 + i ) раз. Таким образом, А п = А(1 + i c ).А для коэффициента приведения a i , n п получаем

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.

Пример 14. Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год – поступления 500 руб., второй год – поступления 200 руб., третий год – выплата 400 руб., далее в течение семи лет – доход по 500 руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.

Решение .

В данном примерепоток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле
мы можем рассчитать его современную величину A 0 . Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода: A 0 = 500 5,58 = 2791 руб. (коэффициенты приведения находим по таблице 4.

Далее, используя формулу
, находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихсяплатежей и величины A 0 :

А 1 = 500 0,943 = 471,5 руб.;

А 2 = 200 0,890 = 178,0 руб. ; А 3 = –400 0,840 = –336,0 руб.;

А 4 = 2791 0,840 = 2344,4 руб.;

Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей: А 0 = А 1 + А 2 + А 3 + А А = 2657,9 руб.

Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета

_________________________________________________________________________________________

Вложения денежного капитала в различного вида ценные бумаги – важнейший элемент развивающейся рыночной экономики. Цель финансовых вложений – получение дохода и/или сохранение капитала от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходимо уметь правильно оценивать реальный доход по разного вида ценным бумагам.

Тема 4. Постоянные финансовые ренты

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока .

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами .

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

член ренты — размер отдельного платежа;
период ренты — длина интервала времени между соседними платежами;
срок ренты — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте .

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой ). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо .

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке ) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме ) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов Rk , приуроченных к моментам времени tk . Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.

Рассмотрим произвольный член потока Rk . Если соответствующий ему момент времени tk наступает раньше момента приведения t,

tk < t,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный . Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина Rk по сложной процентной ставке i за время (t — tk ), отделяющее момент tk от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму Rk положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — tk ) величина Rk выросла бы до величины Rk . Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина Rk при умножении увеличивается.

Если же момент времени tk наступает позже момента t,

tk > t ,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. . Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина Rk при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и tk , при приведении члена потока Rk к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное .

В одной ситуации это приводит к увеличению Rk , в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины Rk , к ее приведению на момент времени t.

Приведенная стоимость всего потока St , приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t получим величину:

Величины St и St связаны соотношением

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

t> t ,

откуда следует, что

St > St .

Отношение приведенных оценок St / St выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть и — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а и — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t. Тогда отношения этих оценок равны:

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты

4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом ). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента

Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value ).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в .

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в .

В частности, первый член преобразуется в .

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле

Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу

По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

4.2.2. Вечная рента

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами .

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

4.2.3. Связь параметров ренты

Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.

В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).

4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Для современной стоимости потока получаем формулу

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

Современная стоимость ренты определяется формулой

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Выводы

Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.

Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).

Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид

Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:

Вопросы для самопроверки

Определите понятие потока платежей.
Какую информацию следует указать, чтобы задать поток платежей?
Чем различаются регулярные и нерегулярные потоки платежей?
Какой поток платежей называется финансовой рентой?
Чем различаются постоянные и переменные финансовые ренты?
Что такое вечная рента?
Чем различаются ренты постнумерандо и пренумерандо?
Что такое приведенная стоимость потока платежей?
Как рассчитывается приведенная стоимость потока платежей?
Какова формула приведенной стоимости потока платежей?
Как изменяется результат расчета приведенной стоимости потока при изменении момента приведения?
Что можно сказать про отношение стоимости потоков при изменении момента приведения?
Какова формула конечной стоимости постоянной ренты?
Какова формула начальной стоимости постоянной ренты?
Как связаны друг с другом начальная и конечная стоимость ренты?
Какова формула начальной стоимости постоянной вечной ренты?
Какова формула члена постоянной ренты?
Какова формула срока постоянной ренты?
Как связаны друг с другом формулы для ренты постнумерандо и ренты пренумерандо?
Каковы формулы стоимости ренты при начислении процентов более частом, чем поступление платежей?
В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по сложной ставке?
В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по простой ставке?
Каковы формулы стоимости ренты при поступлении платежей более частом, чем начисление процентов?

Библиография

Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.

Аннотация

Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .

Основные количественные характеристики аннуитета постнумерандо:

1. Общая наращенная сумма определяется по формуле:

где k i , n – коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен:

Таблица 3. Коэффициенты наращения аннуитета

Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета

_____________________________________________________________

2. Современная величина всего аннуитета определяется по формуле

3. Современные значения каждого платежа (А к ) определяются по формуле:

Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу

Коэффициент наращения определим по формуле

Аналогичный результат получим по таблице. Итоговая наращенная сумма будет равна S = P ∙ 150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.

Современную величину всего аннуитета определим по формуле

Размер очередного платежа может быть определён по формулам:

Современные значения каждого платежа (А к ) определим по формуле:

В аннуитете постнумерандо платежи и начисление процентов производится в конце года. Поэтому современная величина платежа за первый год будет равна:

Аналогичным образом произведём дисконтирование платежей за остальные годы.

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

величиной каждого отдельного платежа;
интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);
сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-контировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -пожалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.

Введем следующие обозначения:

Р - величина каждого отдельного платежа;

ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;

S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;

А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).

Рис. 5.

Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):

S 1 = Р(1 + i c) n-1

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем

Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем

(7.1)

где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).

Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем

Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).

Рис. 6.

При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:

Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит

где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).

Тогда для ai,n получаем выражение:

для современной величины А соответственно

Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотношением:

S=A(1+i c) n (7.6)

Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.

Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем

Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем

Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n получаем следующее соотношение:

Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,

А для коэффициента приведения а п i,n получаем

a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных значений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических

вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут следующий вид:

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей изменяется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи постоянно увеличиваются на определенную положительную величину h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с первым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:

Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.

Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:

S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].

Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:

S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).

Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .

A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.

Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:

А (1 + i с) n - S,

Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:

Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем

S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].

В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрессию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Используя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:

S=P/.

Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):

A=P/.

Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.

Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Ставка дисконтирования - 6% годовых. Решение

В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя забывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:

500 5,58 = 2791 (ам. долл.)

(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложения 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:

А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);

A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);

А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);

А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).

Складывая получившиеся величины, находим современную величину всего потока платежей:

A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.

Современная величина аннуитета

Во всех случаях, когда в произвольном потоке платежей встречаются серии, которые могут быть описаны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-

кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с начальным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий выплаты долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом конверсия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.

2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуитета, и требуется определить один из параметров аннуитета при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8)или (7.10).
3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):

Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р сократится. и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P должна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.

Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Определить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение

Рассчитаем сначала современную величину имеющегося аннуитета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем

А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.

Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации корректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной

ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннуитета, а во втором -величина платежа.

Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного процента:

A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Р = P (1 + i c) n0

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено приближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей суммы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Два аннуитета с параметрами:

1) величина платежа - 2 000 ам. долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;
2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;

требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной ставкой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Найдем сначала общую современную величину двух аннуитетов. По формуле (7.5) имеем

А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое приложение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-

гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности - пять:

1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной процентной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Размер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем P=Ai c .
2. Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего периодически вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под которую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.

Введем обозначения:

D- основная сумма долга (без процентов);

i c -ставка процента по займу;

I - процент по займу;

Р - размер взноса в погасительный фонд;

g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

У - величина срочной уплаты;

n -срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).

По определению I = D i c .

Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. наращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна составить величину D. По формуле (7.2) получаем

D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда

P=Dg/[(1 +g)n-1].

Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяется формулой:

Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем

Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].

3. Погашение долга равными суммами

Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение постоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим

Dk- сумма долга после k-го года:

Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда

D1= D- D/n = D(1 -1/n);

На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);

I2= D(1- 1/n)ic;

Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.

Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);

Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:

Yk= D ic+ D/n.

На конец срока, т. е. n-го года имеем

Dn= D(1- n/n) = 0:

Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцениваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат

Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую процентную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I

(проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и суммы на погашение долга на конец k-го года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соответствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в конце k-го года, запишем следующие соотношения:

1)I k +P k =I k+1 +P k+1 ;
2) D k = D k-1 - P k ;
3) I k = D k-1 i с. откуда D k-1 = Ik/ic;
4) Ik+1= Dkic, откуда Dk =Ik+1/ic

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим

Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1

откуда получаем

Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k

Так как I 1 = Di c для Р, получаем

P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,

Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1

Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].

Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-

итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погашения. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процентную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:

a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчитаем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Приложения 2.

Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, остаток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые значения:

Сумма долга на конец года	Срочная уплата (Y)	Проценты (I/)	Выплата на погашение (Р)

Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной разницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, используя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:

Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. пример 31).

Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годовых.

Разработаем план погашения долга.

Проценты за первый год составляют

I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).

Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;

D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.

Для последующих лет получаем

I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;

Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):

D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);

I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;

Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);

D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);